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Exercice 25

Soient $n>1$ et $k\geq 1$ deux entiers, et

\begin{displaymath}A_{n,k}=\left( \left( n\left(
i-1\right) +j\right) ^k\right) _{1\leq i,j\leq n}\end{displaymath}

On admet que

\begin{displaymath}\forall k,\exists n,\det A_{n,k}=0\end{displaymath}

et on note

\begin{displaymath}N_k=\min \left\{ n\;/\;\det A_{n,k}=0\right\}\end{displaymath}

Calculer $N_k$ pour $k\in\{1,\ldots,5\}$. Conjecturer une formule pour $N_k$. Déterminer un vecteur non nul de $\mathrm{Ker\ } A_{n,k}$. Que resterait-il à faire pour prouver la conjecture?
Thème(s) : Calculs matriciels

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